গণিতের চেনা কাঠামো ভেঙে মিলল ইনফিনিটির দুই নতুন রূপ

অসীম বা ইনফিনিটির কি কোনো শেষ আছে? নাকি এক অসীমের মধ্যেও লুকিয়ে থাকতে পারে আরও বড় অসীম? এমন প্রশ্ন বহুদিন ধরেই গণিতবিদদের গবেষণার বিষয়। এবার অসীমের জগতে নতুন দুটি স্তরের সন্ধান পেয়েছেন ভিয়েনা ইউনিভার্সিটি অব টেকনোলজি ও ইউনিভার্সিটি অব বার্সেলোনার গবেষকেরা। তবে নতুন এই দুই ধরনের অসীম প্রচলিত গাণিতিক কাঠামোর সঙ্গে অস্বাভাবিক আচরণ করছে।

নতুন আবিষ্কৃত এই দুই ধরনের অসীমের নাম এক্সাক্টিং কার্ডিনাল ও আল্ট্রা-এক্সাক্টিং কার্ডিনাল। গবেষকদের মতে, এগুলো লার্জ কার্ডিনাল হায়ারার্কির একেবারে ওপরের দিকে অবস্থান করে এবং অ্যাক্সিওম অব চয়েসের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

গণিতবিদেরা দীর্ঘদিন ধরে অসীমকে ছোট থেকে বড় বিভিন্ন স্তরে সাজিয়ে আসছেন। স্বাভাবিক সংখ্যার অসীম সেট, অর্থাৎ ১, ২, ৩…কে বলা হয় আলেফ-নাল (ℵ₀)। এর চেয়ে বড় অসীম হলো বাস্তব সংখ্যার সেট। এরপর মেজারেবল কার্ডিনাল, সুপারকমপ্যাক্ট কার্ডিনালসহ আরও শক্তিশালী বিভিন্ন লার্জ কার্ডিনালের ধারণা রয়েছে।

এই কাঠামোর ভিত্তি হিসেবে কাজ করে বিভিন্ন গাণিতিক স্বতঃসিদ্ধ বা অ্যাক্সিওম। বিশেষ করে জেডএফসি আধুনিক সেট তত্ত্বের অন্যতম ভিত্তি। কিন্তু লার্জ কার্ডিনালগুলো এমন পর্যায়ে পৌঁছে যায়, যেখানে তাদের অস্তিত্ব সাধারণ গাণিতিক নিয়মের মাধ্যমে প্রমাণ করা সম্ভব নয়; বরং নতুন স্বতঃসিদ্ধ গ্রহণ করতে হয়।

গবেষক জোন বাগারিয়ার মতে, এক্সাক্টিং ও আল্ট্রা-এক্সাক্টিং কার্ডিনাল আগের পরিচিত লার্জ কার্ডিনালগুলোর তুলনায় অনেক বেশি শক্তিশালী। এর মধ্যে আল্ট্রা-এক্সাক্টিং কার্ডিনালকে এক্সাক্টিং কার্ডিনালের আরও শক্তিশালী রূপ হিসেবে বিবেচনা করা হচ্ছে।

নতুন আবিষ্কারের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ দিক হলো, এই কার্ডিনালগুলো প্রচলিত ‘অসীমের মই’-এর ধারণাকে চ্যালেঞ্জ করছে। সাধারণভাবে বড় অসীমগুলোর মধ্যে একটি নির্দিষ্ট ক্রম বা শৃঙ্খলা দেখা যায়। কিন্তু আল্ট্রা-এক্সাক্টিং কার্ডিনালের আচরণ সেই পরিচিত কাঠামোর সঙ্গে মেলে না।

গবেষণার সহ-লেখক ও ভিয়েনা ইউনিভার্সিটি অব টেকনোলজির গণিতবিদ জুয়ান আগুইলেরা বলেন, সাধারণত অসীমের বড় ধারণাগুলো একটি নির্দিষ্ট অর্ডারে থাকে। কিন্তু আল্ট্রা-এক্সাক্টিং কার্ডিনালগুলো আগের ধারণাগুলোর সঙ্গে অস্বাভাবিক আচরণ করছে।

এর ফলে দীর্ঘদিনের HOD কনজেকচার নিয়েও নতুন প্রশ্ন তৈরি হয়েছে। এই অনুমানের মাধ্যমে বড় সেট ও অসীমকে একটি সুসংগঠিত কাঠামোর মধ্যে বোঝার চেষ্টা করা হয়। কিন্তু নতুন কার্ডিনালগুলোর অস্তিত্ব সেই শৃঙ্খলাকে চ্যালেঞ্জ করতে পারে।

গবেষক দল জানিয়েছে, এই কার্ডিনালগুলোর অস্তিত্ব এমন একটি পরিস্থিতির দিকে নিয়ে যায়, যাকে গণিতবিদেরা ‘V is far from HOD’ হিসেবে বর্ণনা করেন। সহজ ভাষায়, এর অর্থ হলো গাণিতিক মহাবিশ্বকে হয়তো সবসময় একটি সুশৃঙ্খল ও সম্পূর্ণভাবে শ্রেণিবদ্ধ কাঠামো হিসেবে দেখা যাবে না।

গবেষকদের মতে, এই ফলাফল শুধু তাত্ত্বিক গণিতেই সীমাবদ্ধ নয়। অসীম ও সেট তত্ত্বের মতো মৌলিক ধারণাগুলো গণিত, কম্পিউটার বিজ্ঞান, ক্রিপ্টোগ্রাফি, কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা ও মহাবিশ্বের গঠন নিয়ে গবেষণার বিভিন্ন ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে। ফলে অসীমের প্রকৃতি সম্পর্কে নতুন এই ধারণা ভবিষ্যতের গবেষণায়ও প্রভাব ফেলতে পারে।